Qu'est-ce que groupe cyclique ?

Un groupe cyclique est un groupe qui peut être engendré par un seul élément, appelé générateur. Plus précisément, un groupe G est cyclique s'il existe un élément a dans G tel que tout élément de G peut s'exprimer sous la forme de a^k, où k est un entier (positif, négatif ou nul).

Le groupe cyclique a une structure simple et bien comprise. En particulier, tous les groupes cycliques finis sont isomorphes à un groupe de la forme Z/nZ, où n est un entier positif (appelé l'ordre du groupe).

Les groupes cycliques sont importants en mathématiques car ils sont largement utilisés pour modéliser des situations dans lesquelles il y a une structure cyclique, telle que la rotation, et pour décrire des symétries dans la géométrie euclidienne et non-euclidienne.

De nombreux résultats en théorie des groupes reposent sur la connaissance des groupes cycliques, ce qui les rend utiles dans de nombreuses branches des mathématiques, notamment en cryptographie et en théorie des nombres.